2017年烟台大学数学与信息科学学院730数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1)
(2) 计算重积分' 【答案】(1) 令S 为由对称性显然可得
而
所以
(2) 利用(1) 的结果得
2． 证明：
【答案】设
在R 上严格增.
则
即
故
在
上严格増.
证明：
3． 证明下列结论：
(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程
(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式
【答案】(1) 令
则z=f(U , V ) ，于是
故
(2) 由
知
于是
故
是不为零的常数，
则
则
也满足方程
二、解答题
4． 设
定义函数
【答案】函数
在D 上可积，且
证明：因为
在D 上的不连续点都分布在线段
则
上，
由可积的充分条件知
它们的面积分别为其积分和为
在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域
在上任取一点
于是
5． 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？
【答案】设底的半径为
则
容器的高
容器的表面积
于是
的极小值点，此时
表面积为最小。
6． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则
【答案】
因
则
7． 在下列数列中哪些数列是有界数列，无界数列以及无穷大数列：
（1）（2）（3）（4）（2）因为（3）因为（4）因为
所以
所以
所以
是有界数列，但
是无界数列，但不是无穷大数列. 不存在.
由
得
故
又因为
故
是
即当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的
【答案】（1）因为
是无穷大数列，也是无界数列.
所
是无界数列，但不是无穷大数列.