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一、证明题

1． 证明：若级数

【答案】假设发散.

也发散

2． 证明：(1) 设在

(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数其中

线段方程组的系数矩阵为A ，则

m ，收敛. 因_

.

上可导，若上n 阶可导，若

和

都存在，则都存在，则

由拉格朗日中值定理得

都存在且相等，

所以有

在点x 处展开为把

故

阶泰勒公式得

看作未知数，解上述线性方程组. 设这个

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

. 故级数

由范德蒙行列式的求值公式知

，

的线性组合. 由存在(其

中

根据(1) 的结论，

由

3． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线，则

【答案】由

公式有

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于是

，

存在可得

于

是

可以表示

为

存

在

的存在性可

知

二、解答题

4． 设函数

其中

问：

都存在？

可知，当

即f (x ，y ) 在原点连续.

欲使上式极限存在，必须有同理可知，当(3) 由(2) 知，当

时，时，有

此时，

且

时，

(1) 对于P 的哪些值，f (x ，y ) 在原点连续？ (2) 对于p 的哪些值，【答案】(1) 由有(2)

(3) 对于p 的哪些值，f (x ，y ) 在原点有一阶连续偏导数? 并给出证明.

而

显然，上式右端第一项的极限为0, 而欲使第二项的极限为0, 必须让于是当续.

5． 若

【答案】

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(对此可作极坐标变换) . 时，

在原点也连

且时，1在原点连续. 同理可证，当且

问对于之差分别是多少？

6． 设

定义函数

【答案】函数在D 上可积，且

证明：因为在D 上的不连续点都分布在线段

则

上，

由可积的充分条件知

它们的面积分别为其积分和为

在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域

在上任取一点

于是

7． 计算重积分

其中D 是以

为顶点，面积为A 的三角形.

【答案】可以利用重心公式直接求得结论，本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸集，它的点总可表示为

作变换：

所以

8． 设f (x ) 在[a, b]上连续，证明不等式数时成立.

【答案】

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，其中等号仅在f (x ) 为常量函