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一、计算题

1． 试将

【答案】设又

按

的幂展开成幂级数. 则

,

故

所以

由

即

可得x>0, 所以

2． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数:

（1）（2）

【答案】（1）令

故

原方程两边关于y 求偏导数, 得故

、求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数；

,

求

和

, 则

故

（2）把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得

3． 设, , . . （1）计算, 其中L 为

螺旋线x=acost, y = asint, z = ct（条件下A 为有势场, 并求势函数.

【答案】 （1）

）; （2）设A=

（P

, Q

, R ）, 求rotA ;

（3）问在什么

（

2

）

（3）由（2

）知, 当A=1时, rotA=0, 此时

A 为有势场

, 势函数

4． 计算

【答案】由

令

推得

令

则有

二、证明题

5． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则

f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则也可积,

又即

. 故

都可积, 且对任何实数t ,

由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即

故

6． 设

（1）（2）（3）

【答案】（1

）因为

时, 有

取

则当

当

同时有

所以对于任给的

时, 有

存在.

成立, 因而

故

（2

）对于任给的

时,

时,

故

（3）对于任给

的

, 存

在

, 使得

当

证明:

.

使得当

存在,

使得当

再由函数极限的局部有界性知,

存在

则当

时, 有

时

,

当使得当

时

, 当