2017年广州大学数学与信息科学学院622数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设子列.
【答案】因为取
则
是无界的，所以对使得
则侧
因此
取
则
则则
于是得一有界子列
2． 证明极限
【答案】由(1) 的结果，对每
存在.
有
令
则
即由
得存在.
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是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛
使稩
使得
使得
不是无穷大，
所以
使得
使得
. 由致密性定理知，
中存在收敛子列.
对任意正整
使得
为无穷大量.
因数列
使得
有下界，
严格单调递减，根据单调有界定理，知收敛，即存在，故
3． 设
由
于
在上可微，且
则
，因
此
为
证明：在
【答案】令
上的单调递减函数，所
以
从而可知
即
二、解答题
4． 求下列极限：
【答案】（1）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
（2）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
5． 求下列极限：
；
（a 为给定实数）
【答案】
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6． 设
其中
表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明
只有有限个点
使
在X 为有理数划
因此
在D 上的二重积分存在而两个累次
因而存在一个分割T , 使
得
积分不存在.
【答案】因为对任何正
数当y 取无理数时，
然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数
在任何区间上的振幅总大亍
同理可证先y 后x 的累次积分不存在. 7． 设
【答案】对方程组
关于x 求导得
解之得
8． 计算下面的三重积分：
⑴(2) 其中
则
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以二重积分存在且等于零.
即函数上关于X 的积分不存在. 显
然就不存在先x 后y 的累次积分.
试求
【答案】(1) 作柱坐标变换：