2017年广州大学数学与信息科学学院622数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在点
当
时
即
2． 证明：若级数
收敛
，又因为
即
存在左右导数，试证f 在点连续.
都存在，所以由有限增量公式：
当
故f (x ) 在点
连续.
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
绝对收敛，由阿贝尔变换知
又由即
所以即
3． 设
收敛. 和在点
的某邻域内存在 有：
即有
于是有
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【答案】因为f 在点的左右导数.
时于
是
绝对收敛，则级数
收敛，则其部分和数
列
收敛，从而
【答案】因为级
数
收敛可知收敛. 设
则
在点连续，证明则
也存在，且
的邻域可微，从而由微分
【答案】对于固定的与
令中值定理，
故.
存在，且
命题得证.
二、解答题
4． 设V 是
中有界区域，其体积为
关于平面
V
的边界是光滑闭曲面
对称，
是
的外向法矢与正x 轴的夹角，求【答案】由高斯公式
令
由于V 关于面
对称，则对应的V 关于面
而平移变换不改变立体的体积. 所以
从而
的距
5． 设有一半径为R 的球体，是此球的表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到离的平方成 正比(比例常数
) ，求球体的重心位置.
以的球心为坐标原点0, 射线
密度函数为
设重心坐标为
由对称性可知，
而
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对称，且
【答案】方法一记所考虑的球体为为x 轴的正向建立坐
标系，则点的坐标为(R ，0，0) ，球面方程为
故
因此球体的重心位置为方法二选取
为坐标系的原点，球心坐标为(0，0，R ) ，则球面方程为
而此时密度函数为
设重心坐标为
由对称性知，
而
故
因此球体的重心坐标为
6． 设
【答案】方法一 因方法二 因所以
同样因
求它在(1，0) 点的偏导数. 所以
同样因，
所以
可见求具体点的偏导数值时，第一种方法较好.
7． 讨论下列函数在点(0, 0) 的重极限与累次极限：
【答案】(1) 当动点(x ，y ) 沿着直线
趋于定点(0，0) 时，
这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值均不同，因此，函数(k ，y ) 当
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