2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设W 是定义在闭区间函数
定义实数 数；
（2）证明:W 不是有限维向量空间.
【答案】（1） （i ）首先可证W 关于加法封闭和数乘封闭
.
那
么
再验证加法应满足的4条算律:
规定零函数如下:
则
规定则
这4条中, 这里只证⑥式（③④⑤同理可证）
最后验证数乘应满足的4条算律:
⑦
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上所有实函数的集合, 在W 上定义加法为:对
① ②
为
乘函数为
的负向量是什么函
（1）证明:W 是实数域R 上的向量空量；并指出什么函数是零向量;
和仍为定义在闭区
间
上的实函数
.
③
④
的负向量如下:
⑤
⑥
也只证⑩式（⑦⑧⑨同理可证）
由⑪, ⑫即证⑩式.
综上即证W 是R 上向量空间, 零向量是零函数, 即
⑧
⑨
⑩
⑪
⑫
f 的负向量为:
（2）下证
即存在任意多个线性无关的向量, 令
那么可证向量空间. 2． 如果使
【答案】即即先考虑有
3． 求下列
矩阵的不变因子:
当然a 也不在
使
是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，那么在V 中必存在向量，也两两不同.
当且仅当
的核.
时，
两两不同，
的核是零子空间的情形，
不是零变换或它们的核不是V . 我们暂时不考虑
的核是非平凡子空间的情形.
当
的
的核是零子空间时，
的核中，即
的核中. 故这a 不在所有
不属于所有这些非平凡子空间. 这时
线性无关, 由n 可任意大, .
即W 不是有限维实
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【答案】（1）因为（2）因为
,
所以不变因子为
.
所以，不变因子为
（3）当
时，
原矩阵成为
此时不变因子为当
时，
有一个3级子式
与
互素. 所以得
因此不变因子为
4． 假设
与
为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且试求
与
的最大公因式.
是
的4个根.
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.
整除
【答案】设6次单位根分别为由于所以