2018年南京师范大学教师教育学院869数学学科基础[专业硕士]之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 在
中，求由n 次方程组
确定的解空间的基与维数. 【答案】
得到一般解
解空间的一组基是
解空间的维数是2.
2． 设A , B，
【答案】由于是
故
均为n 阶可逆矩阵，证明：
仍可逆，并求
得
仍可逆. 注意到
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于是
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故
3． （1）设明
:
不是
是线性变换的特征向量；
是
的两个不同特征值,
是分别属于
的特征向量，
证
（2）证明:如果线性空间V 的线性变换以V 中每个非零向量作为它的特征向量. 那么数乘变换.
【答案】 （1）反证法. 设
于是
因故量. 由（1）
知
，属于同一个特征值. 因此V 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量，
不全为零. 但由定理8，
不能是特征向量.
由题设它们都是
是线性无关的，矛盾.
（2）任取V 的两个非零向量的特征向量，且它们的和也是特征向
就
是数乘变换.
4．
设A 为n 阶半正定阵
，B 为n 阶正定阵，证明：
【答案】
由假设知当其中
设C 的n 个特征值为
的n 个特征值为由①知
5
． 设A
, B 均为n 阶矩阵, 对角阵.
【答案】由故
这里
分别是
阶方阵. 由
, 则
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且等成立当且仅当
正定阵，当
时，秩
半正定，B 正定，由第413题有
，B 正定
，有存在可逆阵
P ，使
由C 半正定，因此至少有一个
其中
求证:存在可逆矩阵G , 使
, 这里
, 由
同时为
由②有
不妨设
那么
时，
即证
则存在可逆矩阵P , 使
故存在可逆矩阵
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使
其中
. 令
, 则
同时为对角阵.
的各根减1.
6． 求作一个一元多项式，使它的各根分别等于
【答案】方法1令
，则
故多项式方法2将令
7． 在设
则中，求由基
到基
为所求. 表示成
的方幂的和，由综合除法直接计算得
为所求.
的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】（1）
是单位向量组成的基. 的各分量恰是它在此基下的各个坐标，
故
就是过渡矩阵的第i 列. 因此过渡矩阵是
设向量
在
下的坐标为
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，则
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