2017年武汉大学高等研究院601高等数学(理学)考研强化模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
2． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
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【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
得
且
可
即
知
函数取得极大值函数取得极小值
确定的函数
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
则函数Z 在当
处取得极小值
时，
。
，并将其代入
，得
故Z 在点 3． 设
【答案】由于
，
为可微函数，求，令
。
处取到极大值
。
，则将其代入原式得
则
则
4． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
5． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
不是当
时的无穷小。
与
都是当
时的无穷小，但
，却
轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
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6． 若函数恒满足关系式就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
7． 求下列微分方程的通解:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】（1）
，则
，
（2）将方程改写成
，则
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