2017年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即
即
且
的无偏估计，故其差
2． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）
，
由
对上式右端积分作变量变换y=c-t，则
再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则
结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图表示：
【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知
由判断准则知
，则这说明
是0的无偏估计，
图
3． （格涅坚科大数定律）设
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当
时, 有
因此有
所以当再证必要性.
设有
因为函数
时, 有
服从大数定律,
即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N ,
当, 得
由于的任意性, 所以
4． 设从均值为
方差为
的总体中，分别抽取容量为
的两独立样本，
分别是
时,
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
5． 证明:容量为2的样本
【答案】
）的均值
中方差最小的.
的方差为
6． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
即
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
值已知）的共轭先验分布.
7． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】
泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
即的后验分布为共轭先验分布.
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
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