2018年沈阳航空航天大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根.
【答案】设
, 使得
. 首先有.
. 事实上, 由假设
其次, 假定存在
证明可得
这与
2． 设
且
【答案】
由
又由有
由开覆盖定理, 存在注意到对于每一个则对任意的从而
3． 证明:若f （x ）在[a, b]上连续, 且使得
. 又若
【答案】利用反证法.
若
（或<0）,
这与
矛盾. 所以
使得
.
时, f （x ）>0, 当
时f （x ）<0.
若f （x ）只有一个零点x 1, 不妨设当
, 则在（a , b ）内至少存在两点x 1, x 2,
, 这时f （x ）在（a , b ）内是否至少有三个零点？
, 则f （x ）在（a , b ）内恒正或恒负,
从而
为[0, 1]上的连续函数列, 故存在
的开区间族
使得
为单调递增数列, 现令存在
有
对任意的
为
上的连续函数列, 满足
证明
在
上一致收敛. 知, 对任意
的
存
在
有
再在
的假定矛盾.
（不妨设上对
, 使得
用罗尔中值定理,
则存在
）那么根据上述
,
使得
,
, 求证:方程f （x ）=0在（a , b ）内如果
由此得到满足上述要求的覆盖
令
则当
且
时有g （x ）<0, 从而
, 但
矛盾, 故又当不妨设再令
4． 设a , b , c 为实数. 求证:方程有四个不同的零点
两个不同的零点;
函数
, 使得时f （X ）>0,
使得
.
,
时f （x ）>0.
的根不超过三个.
, 那么函数
必有三个不同的零点; 函数
有
无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反
应用罗尔定理可知函数有一个零点. 然而已知函数
. 时, 若f （X ）只有两个零点
时
, 同样引出矛盾. 故
【答案】用反证法. 假设方程有四个不同的根
证法假设不成立, 即方程至多只有三个根. 5． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:
, 它把函数f （x ,
【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即
在上式两边关于t 求导得
令t=1可得
方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得
由变换式可知,
由此易知, 当du=u, dv=v, dw=w时, 有
反之也如此, 这表明结论成立.
二、解答题
6． 设有R 4中点列
【答案】因为
所以
7． 在得
所以
故其傅里叶级数为
8． 设
【答案】因为
, 试求极限
, 所以
9． 设球体.
上各点的密度等于该点到坐标原点的距离, 求这球体的质量.
.
上把下列函数展开成傅里叶级数
, 求
【答案】易知f （x ）是上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可
【答案】根据题意所求球体的质量为
应用球坐标变换
于是