2018年沈阳师范大学数学与系统科学学院850数学分析一考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）方程. （2）方程【答案】（1）令的开口向上, 于是不同的实根
得
（2）令
, 并且
根据罗尔中值定理, 存在为
是奇次方程
（ii ）设n 为正奇数. 如果方程在根 2． 设
在
上二次可微, 且
证明:
,
使得
并且
当n 为偶数时至多有两个实根.
有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存
但这是不可能的.
因为
是偶次方程
当n 为奇数时至多有三个实
不妨设
,
则, 则
, 使得
, 但这是不可能的. 因
.
故方程
, 它在实数集R
上有且仅有一个实根
. 当
（这里c 为常数）在区间
内不可能有两个不同的实根；
（n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；
, 则
由方程
得
, 抛物线
, 使
时,
,
使得
当n 为奇数时至多有三个实根.
在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个
由罗尔中值定理知, 存在
时, 显然成立; 当
在区间（0, 1）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根,
则存在实数
, 但这是不可能的. 所以方程（i ）设n 为正偶数.
如果方程
, 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程
【答案】
3． 证明:设f 为幂级数在（﹣R , R ）上的和函数, 若f 为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则仅出现偶次幂的项.
【答案】由
当f （x ）为奇函数时,
又
故此时有
当f （x ）为偶函数时,
又
故此时有
4． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:
【答案】两次应用洛必达法则得
5． 证明
【答案】将
作偶延拓到
上, 再在
故
即
外作周期延拓, 于是
可得
二、解答题
6． 设f （x ）是周期为
的连续函数，且其傅里叶级数
处处收敛，
求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.
【答案】设
由条件知由费耶定理，知, 故
7． 求a 、b 使下列函数在
，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，
收敛于f （x ）. 处可导:
【答案】由于函数在由又由
8． 设
在
处可导, 从而连续； 得到得到
上三阶可导, 存在实数, 使得
, 使得
.
. 这是因为,
若
, 而且
当
使
得
. 这是因为, 若
, 而且当
时,
必有
的假设下证明本题的结论.
,
,
,
则
, 考虑
时,
令
中有一个为零, 则结论显然
【答案】
若存在一点成立.
因此, 不妨设不失一般性, 假设则
. 则必有
进而, 不失一般性还可假设考虑使得于是, 在由泰勒公式, 有
其中在X 与a 之问. 由此可知, 存在再由泰勒公式, 有
, 当时, .
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