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一、证明题

1． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

2． 设函数

具有连续的n 阶偏导数，试证：函数

【答案】应用数学归纳法证明.

当且

设

成立，则

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的n 阶导数

时，

所以，对一切的n ，

二、解答题

3． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

（2）

4．

设函数

【答案】方程组分别关于

求偏导数，有

由方程组

所确定，

求

（2

）

分别解得

5． 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：

(1)

(2)

收敛，

. 绝对收敛.

收敛. 又

【答案】(1) 因为

所以由级数的比较判别法知，级数(2) 因为

单调递减且

所以由Leibniz 判别法知，级数

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发散，故级数条件收敛.

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

6． 一物体在某介质中按移至

【答案】

时克服介质阻力所作的功。

其中

故

7． 计算

【答案】令

则

所以

8． 求下列极限（其中n 皆为正整数）

.

.

【答案】

（4）由公式

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其中