2017年东北大学统计方法之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某种产品由20个相同部件连接而成, 每个部件的长度是均值为2mm 、标准差为0.02mm 的随机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布, 且规定产品总长为（求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度,
则
, 可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
所以不合格品率为0.0254.
2． —盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品. 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率.
【答案】记事件
3． 设求样本均值
和
【答案】
因而得
4． 设
【答案】
若令
可得
再令
可得
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）mm 时为合格品, 为总长度,
且
为“第i 次取出合格品”，i=l，2. 用全概率公式
和是两组样本观测值, 且有如下关系
:
和
间的关系.
试
间的关系以及样本方差
求
当k 为偶数时，当k 为奇数时，
5． 掷一颗骰子100次, 记第i 次掷出的点数为求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为0.9966, 很接近于1.
6． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当
时，
【答案】由题意可得
点数之平均为
试
当x>0.5时，所以X 的分布函数为
（3）所求概率为（4）所求概率为
7． 设
是来自对数级数分布
的一个样本，求参数p 的矩估计.
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【答案】由于
因此有
从而得到p 的一个矩估计
. 上服从均匀分布, 记
求U 和V 的相关系数.
【答案】因为区域G 的面积为2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
因此（如图）
8． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形
图
这说明:又因为
所以U 和V 的相关系数为
所以
二、证明题
9． 设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
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