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一、计算题

1． 已知系统的微分方程为:

当激励信号

时，系统的完全响应为

试求:系统的零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。 【答案】将激励f （t ）代入微分方程，得

先求零状态响应，即设

，微分方程为

因为方程右端含

项，在

起始点会发生跳变，故用冲激函数匹配法，有

代人方程②得

由此得a=1，所以有

系统的特征方程为端自由项为

得其中将

所以系统的零状态响应为零输入响应为自由响应为

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，得特征根。而当

。将此特解代入方程②中有

时，方程②右

， 故该方程②的特解为

。所以方程②的解为

为齐次解。

代入上式，得

强迫响应为

2． 求解下述频域分析问题：

（1）对一个持续时间为T 秒、带宽为WHz 的信号进行无失真采样。若将在持续时间内的采样点数计为N ，试用T 和W 表示N 。

（2）某已调制的带通信号可表示为成分，且为一复函数，试用

表示

的相移功能，即

试求该系统的单位

为调制载波的频率。如果

的频谱为

其中

为

的等效低通

而s （t ）的频谱为

（3）一个LTI 系统具有冲激响应

（4）将如图1所示的三角脉冲进行周期延拓，形成周期信号的傅里叶级数表示

周期为T 。试用指数形式

图1

【答案】（1）持续时间T 秒，带宽用T 、W 表示N 如下：

所以

已调带通信号载波频率，由于

若

的频谱表示为

的频谱为

于是

已知

其中

为

的等效低通成分，

为调制

的信号无失真采样，持续时间内的采样点数为N , 可

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即

利用傅里叶变换的对称性，由于

故

可得

故

因此（4）见图2,

可表示为

与

的卷积，即

故

于是可得

的傅里叶变换

的傅里叶变换以

为主周期信号，延拓成周期信号

周期T ，可用复指数形式的傅里叶级数表示成

其中故

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