2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 3． 设
又
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
为空间的两组基，且
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
由②有
【答案】（A ）
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
二、分析计算题
6． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为a ，试证明：
【答案】由假设有
的行元素和必为
由A 非奇异，从而A 可逆，用左乘①式两端得
所以 7． 设令
此即的行元素和为
则V 关于矩阵加法及数乘运算构成P 上的线性空间，A 为V 上的一个固定矩阵，
求W 的维数与一组基. 【答案】解法1由
个矩阵
线性相关，设式（6-7）中自左至右第一个能用前面的矩阵线性表示的矩阵是Am , 我们证明
是V 的基. 事实上，由则E 线性无关；由A 不能用E 线性表示，则E , A 线性无关；如此进行下去
知（6-8）线性无关. 由示，于是
线性无关. 这里注意到从而
8． 已知
或
由带余除法定理可设
于是
可以用（6—9）线性表示，则（6-9）是W 的生成元，故（6—9）是W 的基，
的次数为m ，则
可以用（6-8）线性表示，则故
可以用（6-8）线性表
有f （A ）可以用（6-8）线性表示，故（6-8）是V 的基，且解法2设A 的最小多项式
（1）求A 的不变因子，初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）用初等变换将
化为标准形，