2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 【答案】C 【解析】若当C. 5． 设 A. 合同且相似 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 使AB=0, 则（ ） . 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 时， 则A 与B （ ）. B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 所以A 的特征值为3，3，0；而 二、分析计算题 6． m ，p ，q 适合什么条件时，有 （1）（2） 【答案】（1）因 为 的充要条件是 （2） 的充要条件是有 使 比较次数及首项系数，常数项，可设 代入，展开，得 由此得 的充要条件是 或 为的最小多项式. 证明：如果 被 除所得的余式 为 即 所 以 7． （1）设为n 维线性空间V 的线性变换，且 与其中 互素，则 （2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基式 并对于由于从而有 （E 为恒等变换） 这样，令则有 有 下的矩阵为 使 求的最小多项 的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式. 互素，所以存在多项式. 【答案】（1）证明：由题设
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