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一、证明题

1． 证明：(1) 若函数f 在

(2) 若函数f (x ) 在(3) 对任意实数【答案】(1) 因为

点I

使得

(2) 因为f (x ) 在

都有在又因为

于是

上可导，且上可导，且

则

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a ，b ) 内至少存在一

因此

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a , b ) 内至少存在一点使得

又因为

(3) 当

时，结论成立. 当

于是

时，设

令

由(2) 的结论知，

2． 设函数

具有连续的n 阶偏导数，试证：函数

【答案】应用数学归纳法证明.

当且

设

成立，则

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则

因此

则

的n 阶导数

时，

所以，对一切的n ，

3． 以S (x ) 记由明拉格朗日中值定理.

【答案】由拉格朗日中值定理的题设知，f (x )

在

三点组成的三角形面积为

由题设知，函数S (x ) 在中值定理，存在

得

4． 设是集合E 的全体聚点所成的点集，

【答案】因为是的一个聚点，所以

是P 的一个聚点. 试证：自

设

又因为以

.

因此

.

即

是E 的一个聚点，所

又因为是

使得

上连续，

在

由

内可导. 又因为

所以由罗尔

上连续，

在

内可导.

由

三点组成的三角形面积，试对S (x ) 应用罗尔中值定理证

集合E 的全体聚点所成的点集，因此是E 的一个聚点. 所以

二、解答题

5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设因此，

6． 展开

是

的原函数，且

也是周期函数。

在

上的傅里叶级数.

另外

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【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以

因此

在上的傅里叶级数为

7． 计算下列二重积分：

(1) (2) (3) (4) :

其中

其中D 由抛物线

其中

，其中D 为图1中阴影部分；

与直线

所围成的区域；

【答案】(1) D 如图

1

图1

(2) (3) D 如图

2

图 2

(4) D 如图

3

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