2017年云南民族大学数学与计算机科学学院812高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
又由方法2:设考虑到
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设相似. 证明, 得阵要性因 任取 故有 【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T , 相似，则存在可逆矩阵S ，使如 则因 的自然 基 即 所以 7． 求多项式f （x ）的根，其中 即 相似. . 由 可 得 从而有 充分性由题设，存在可逆阵S ， 对 在该基下的矩阵仍记为 中任给向量 显见问题等价于矩 . 如. 可得 必 相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使 是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使 则称 可 相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由 【答案】各列都加到第一列，提取公因子，得 第一列乘以加到第i 列，得
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