2017年云南民族大学数学与计算机科学学院812高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 2． 设
=（ ）.
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性相关，故选D.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.
A.1 B. C.-1 D.
故
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
【答案】B 【解析】但当a=l时， 4． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 5．
设
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
到基
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 求n 阶行列式的值
【答案】按第1
行展开得
当n=l时，
当n=2时，
即
作特征方程
于是
由
解得
7． 设向量组证明：向量组
【答案】令
由于
线性表示，设为
将②代入①，再整理得
由假设及上一题知，
线性无关. 故
即证
线性无关.
8． 设A 为n 阶实反对称矩阵，b 为主对角线上元素全为正实数的对角矩阵. 证明：
【答案】设设若由此得从而矛盾. 因此设若
于是
则因为
为实系数多项式，虚根成对出现，而
线性无关，向量可由这向量组线性表示，而不能由这向量组线性表示，
必线性无关（其中1为常数）.
其中每个
则方程组
即
但每个
于是
必有非零解. 任取其一实的非零解
但因为故
且
又为其所
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