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一、计算题

1． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

而当

2． 设二维随机变量

的联合密度函数为

中至少有一个发生的概率为

3． 设

是来自

的样本, 问n 多大时才能使得因而

所以

这给出

即n 至少为62时, 上述概率不等式成立.

4． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立, 所以

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所以当P （AB ）=P（A ）

所以有

时，有P （AB ）达到最小值0.4.

求X 与Y

中至少有一个小于0.5的概率.

【答案】两事件

成立？

【答案】样本均值

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

所以

为计算所以

因此

由此得

5． 某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响. 现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：

表

1

先给出

的分布列, 注意到

的可能取值为0, 1. 且

（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在三种方法对含水率有无显著影响；

（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间. 【答案】（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：

表

2

下检验这

三个平方和分别为

据此可建立方差分析表：

表3

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在显著性水

平有显著影响. 检验的p 值为

（2）每种水平含水率的均值估计分别为

而误差方差的无偏估计为别为

6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差

.

最后可得X 与Y 的相关系数

7． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

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下，查表

得故拒绝域

为由

于

故认为因子A （储藏方法）是显著的，即三种不同储藏方法对粮食的含水率

因而若取则

于是三个水平均值的0.95置信区间分

. 试求X 的特征函数, 并