2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
2． 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）抛物柱面（2）抛物柱面（3）圆锥面（4）旋转抛物面
【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示； （4）如图4所示
.
，平面z=0及
及旋转抛物面，柱面
；
；
，平面z=0及x=1.
，平面y=0, z=0及x ＋y=1；
，而
都是可微函数，求
。
图1 图2
图3 图4
3． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
4． 求平面
【答案】设交线上的点为在约束条件
和和柱面
，它到
的交线上与
平面距离最短的点。
。问题就成为求函数，故压力为
面上距离的平方为
下的最小值问题。作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
解次方程组，得
可知，距离最短的点必定存在，因此
5． 设数列
的一般项
。于是，得可能的极值点就是所求的点。 ，问
求出N ，使当n>N时，x n 与其极限之差的绝
。由问题本身
对值小于正数ε。当e=0.001时，求出数N 。
【答案】因为
，则当
要n>1000，就有
6． 设
时，就有
。
，
要使
，当
，
只要
时，取
，
即
，
所以对，即若
，
取，只
其中
数
在
具有连续导数，且
。 ，故
对任意（x , y ）都成立，从而
且
齐次方程的通解为
。由②得
，
求函
，使沿平面内任一闭曲线C ，有
【答案】由条件知，曲线积分与积分路径无关，从而
，由①得
为任意常数，非齐次方程有一特解
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