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一、证明题

1． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则

（2）若f 为偶函数, 则

【答案】因为对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则,

故

（2）若f （x ）为偶函数, 则

, 故

2． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:

则函数也满足此方程.

【答案】令

则有

①

同理

由于

故有

同理

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②

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将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得

3． 设f

（x ）定义在[a, b]上

证明:存在子列

在

x 0处有左、右导数; 令

, 使

【答案】

令

则

而

由致密性定理, 令q=l—p , 则

4． 设a n >0, 证明：当下极限

级数

发散.

， ，即

收敛.

，当n 足够大时

，

，由比较判别法知，级数

发散.

，

，

时，级数

收敛；当上极限

时，

有收敛子列

使

又设

【答案】 （1）由于当n

充分大时，由比较判别法知级数（2）由于即

5． 证明不等式

【答案】作

则

所以

在

上严格单调减少, 而

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因此, 在

6． 设

上, 有, 即

是凸域, , 且满足

t

是半正定的.

.

证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:

根据条件

1为任一向量, 当t 充分小时, 点

故有

.

上式消去t 并令t →0, 即得

这表明矩阵

7． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在都

存在.

,

设, 由柯西收敛准则

, 【答案】（1）

对

,

又由f （x ）在[a, M+l]上连续, 从而一致连续, 故对上述的当取或者

所以f （x ）在（2）时

有有

:

设

故当

, 由柯西收敛准则知

, 定义函数

*

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2

是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的.

上连续, 且存在, 则f （x ）在上一致连续;

及

（2）设f （x ）在有限开区间（a , b ）内连续, 则f （X ）在（a , b ）内一致连续

,

对

,

有

且

, 则对

,

或者上一致连续.

:

对

时有

.

当

, 不论哪种情况均有

, 对时

存在. 同理

时,

. , 当

, 由f （x ）在（a , b ）内一致连续, 则

也存在

.