2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
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2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（二）.... 8 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（三）.. 13 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（四）.. 19 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（五）.. 25
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一、证明下列各题
1． 证明:定义在对称区间（-1, 1）内的任何函数f （x ）, 必可以表示成偶函数H （x ）与奇函数G （x ）之和的形式, 且这种表示法是唯一的.
【答案】令
则
若还存在偶函数
用-X 代入①式有
由①+②可得
2． 证明:若函数列
再代入①式可得
在[a, b]上满足定理的条件, 则
设由
为
的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知
故从而
由为
的收敛点可知, 对任意
存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当
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且容易证明和奇函数
是偶函数,
, 满足
是奇函数. 下证唯一性.
则有
① ②
在[a, b]上一致收敛.
一致收敛, 不妨
设
【答案】由题
设
有
连续
且
时, 总有时, 对任意
有
在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的
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从而当所以
3．
设的点x 0处
【答案】因为
时, 有
在[a, b]
上一致收敛.
为开集,
且
证明:在满足
. 但是由方程f （x ） =0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g :
所以又
.
故
由于如果有
使
.
知, 在
x 0附近存在隐函数
g
:
.
由定理可知, 这时由
4． 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
【答案】有
于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数, 则从某一
的极限. 如果集合
至少都含矛盾. 故
的聚点, 所以存在与
设
丨收敛, 令
于是
, 对任给的
,
存在正整数N , 使得当n ,
时,
.
可能为零也可能不为零, 故若
可微
, 且有连续的偏导数, 则记
,
. 又因为D 为开集,
,
则方程f （x ）=0可以写为
项起这个数列的项为常数, 否则柯西条件不会成立.
此时, 这个常数就是数列
有一个聚点.
假如有集合
有两个不等的聚点
, 不妨设
, 令
, 则时, 有, 又因为是
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含有无限多个不同的实数, 则由柯西条件容易得知它是有界的.
于是由聚点定理, 集合
中无限多个点.
这与取
,
存在正整数N , 当
n ,
时,
的聚点是惟一的, 记之为 对于任意, 使得
, 存在N , 使得当n ,
因而, 当
时,
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故数列
5． 设
收敛于
, 证明:
为递増有界数列, 且对任何正整数; 的极限, 则
于是
.
的定义知
为有界数, 记
为递减有界数列, 收敛的充要条件是
（1）对任何正整数, （2）（4）
（3）设和分别是【答案】（1）由（2）由于
因而
由于
因而
的界, 即对一切正整数n
,
故
为递减有界数列
,
由
知
的极限都存在, 设
又因
即
由（1）知
设正数M 为数
列正整数
的正整数n , m总有取极限得数列
收敛. 必要性,
设
于是, 当则由
可知, 对一
切
故对任何
两边
为递增有界数列. 对任何正整数n , m , 设
（3）由单调有界原理知
即
（4）充分性, 由（1）和确界的定义知,
则对任意
的
时
由迫敛性定理知, 时
,
即
存在N , 使得
当
因此,
在上面两个不等式的两边分别取极限得’
由的任意性知
6． 证明:当
【答案】因为
时
所以
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