2017年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是一n 维欧氏空间，
（1）（2）
的维数等于n-l.
所以
有
所以对
中向量x 及实数k 有
所以因此n-l 维的.
2． 计算
是V 的一个子空间.
易证
所以
是
（2）将扩充成V 的一组标准正交基
非空.
【答案】（1）因为对V 中两个向量
是V 中一固定向量，证明：
是V 的一个子空间；
阶行列式
【答案】将第n+1行与上面各行作两两对换，将它换到第1行，需经n 次对换，再将n 行作两两对换，换到第2 行需经（n-1）次对换，…直至第2行作一次对换放在第n 行. 得
再对列作类似变换，所以
再由范德蒙行列式可得
3． 证明:一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根，
要且只要存在一个有理系数多项式
使【答案】
显然，a 是
的根，因而也是
的根，令
则
若由
则
可知
如此继续，总有一个时刻，使
因而我们不妨在等式
中设从而有
其中，显然有
4． 证明：
令
为有理系数多项式，且
则有
的根
.
设为非零有理系数多项式
存在左逆阵（右逆阵）的充要条件是A 的列（行）满秩，且在A 存在左逆阵时，
A 左（右）逆阵唯一的充要条件是A 的行（列）也满秩，即A 可逆.
【答案】以左逆阵为例. （1
）
证法1 A 的列满秩，
则则BA=E.故A 存在左逆阵.
证法2 A 列满秩，则存在m 阶可逆阵P ，使
存在左逆矩阵
所以r （A ）=k，即A 列满秩. （2）唯一性
已知r （A ）=n，所以又A 存在左逆阵时有
故后=n，即A 为n 阶可逆阵. 即
则
则有BA=E。
.
的列数，
所以
非奇异.
取
所以A 的左逆（即逆矩阵）唯一.
设A 左逆唯一，由（1）得A 列满秩， 所以
若k ，因为 这里为n 阶单位矩阵E 的第i 列（i=l，2，…，n ） 所以式（*）有解，且解不唯一，这样矩阵方程即 5． 设 解不唯一（与A 的左逆阵唯一矛盾）. 所以k=n，即A 的行向量组也线性无关. 解不唯一， 设把D 的第j 行换为 1得 证明： ，因为 【答案】证法1（作加边行列式） 所以因为 证法2 （借助代数余子式，先算出D , 再求和）
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