2017年浙江师范大学数理与信息工程学院881高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得
故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件故有取
分离变量并积分
得
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即
则且原方程化为一阶线性方程
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
有初始条件
即
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
得即
并因
则有
即
时，故上式开方后
代入初始条件得故所求特解为
因
即
不
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
比较系数得并有代入初始条件即
2． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
，所以
故所求特解为
故
有
是原方程的特解，并代入原方程，
得且原方程的通解为
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
的最小值.
=y+1，所以
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
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（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，所以t=2时，
，，有最小值
，所以
，计算得t=2，则：
在在=2+1=3
上单调递增； 上单调递减.
3． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
4． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，将D 表达式为
（图1）
则得
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