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一、证明题

1． 证明:黎曼函数

在[0, 1]上可积.

【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为

作[0, 1]的分割T :

, 使其满足

由于

而在上式右边第一个和式中,

有

, 所以有

由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积. 2．

在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法.

若

依次取

由的选取方法有

这与

3． 证明:若

在

处存在极限矛盾. 故为任何闭集, f :

在

上有界.

, 使得对任何

满足

则得到数列

记

在

上有界.

使得

且

; 在第二个和式中,

有

且

, 在[0, 1]上使得

的点至多有有限个, 不妨设是k

在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n ,

存在

由致密性定理知, 存在收敛子列

且存在正实数

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即 4． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

5． 证明:级数

收敛.

则任意的n , 存在k ,

使

因

为

故b n 中使

得

所

以

【答案】证法一:

记

的项最多

有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二:将该级数中符号相同的项加括号得

, 故由定理可知数列收敛,

设

（2）不动点

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

成立

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因为

即同理可证

故

为单调递减数列且趋于0,

故交错级数

收敛, 从而原级数收敛.

6． 证明定理得

【答案】

（1）先证定理

（连续性）若函数项级数

都连续, 则其和函数在[a, b]上也连续.

设则

因为有

且

又由使得当

从而上连续.

（1）下面证定理（逐项求导）若函数项级数数,

为

的收敛点, 且

在[a, b]上每一项都有连续的导函

在[a, b]上一致收敛, 则

在区间[a

, b]上一致收敛, 且每一项

为[a, b]上的任意一点, 为级数的部分和函数列,

, 故对任意在[a, b]上一致收敛于S （x ）存在N

, 使得当n>N时,

对一切

连续可得,

且

时,

有

在[a, b]上连续, 故对上述的

. 存在

,

所以的和函数S （x ）在处连续. 由的任意性, S

（x ）在[a, b]