2017年江苏师范大学教育科学学院(教师教育学院)高等数学(加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
2． 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）（2）
【答案】（1）在方程（2）在方程即
故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解。
两端对x 求导，得
。
两端对x 求导，得
，即
，
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
再在上式两端对x 求导，得
即
故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.
3． 设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正 比（比例系数为k l ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用. 求质点运动的速 度与时间的函数关系.
【答案】依题意，有将方程改写成
，则
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即
由t=0, v=0得
4． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
在直线
上，
，则令
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线
上，
，则令
，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
，故速度与时间的关系为
二、计算题
5． 求球体r ≤a 位于锥面
和
之间的部分的体积。
为立体所占的空间区域，有
6． 求下列微分方程组满足所给初始条件的特解：
【答案】用球面坐标计算，记
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【答案】（1）记
则有
即
由③的特征方
程
得
故
故方程组的解为
（2）记
原方程组即为
解
得又由①
得
于
是代入初始条
件
代入初始条
件
得
原方程组即为
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