2017年济南大学高等数学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
2． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
，代入
即
得
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
【答案】（l ）一阶; （2）二阶; （3）三阶; （4）一阶; （5）二阶:（6）一阶. 3． 设
一的极大值？参数a ，b 满足什么条件时，
【答案】由极值的必要条件，得方程组
，试问参数a ，b 满足什么条件时，有唯一的极小值？
有唯
即当
。 时，
有唯一驻点
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。
记当当当当当
时，即当时，即当且且
时，即当
时，其有极小值； 时，其有极大值。
时，
。
由极值。
综上所述，得
时，其有唯一极小值； 时，其有唯一极大值。
4． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x , y ）处的切线斜率等于2x+Y。
，依题意有【答案】设曲线方程为y=y（x ）
由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为
，即
二、计算题
5． 以初速v 0竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是:
（1）该物体的速度v （t ）; （2）该物体达到最高点的时刻。 【答案】（1）
，故
。
，求:
（2）物体达到最高点的时刻v=0，即
6． 设函数f （x ）在
内具有一阶连续导数，L 是上半平面（y>0）内的有向分段光
，终点为（c ，d ）滑曲线，其起点为（a ，b ）。记
（1）曲线积分I 与路径无关; （2）当ab=cd时，求I 的值。 【答案】（l ）因为
在上半平面这个单连通区域内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径L 无关。
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（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点（a ，b ）到点（c ，b ）再到点（c ，d ）的有向折线， 从而得
当ab=cd时，
，由此得
。
7． 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.
【答案】如图8-5所示，己知AB=a，故OA=OB=
a ，于是各顶点的坐标分别为
8． 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点（x ，y ）处的面密度
，求该薄片的质心。
【答案】
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