2017年江苏师范大学物理与电子工程学院高等数学(加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
2． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0） 方程为
3． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）
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所确定的函数，其中具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
，即微分
（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
。
，有
，积分得
, 令
，即，积分得
，有
，则原方程为
，即
，即
。
。
。 ，有
。
，
有，令。
，即
有
，
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
，则原方程为
（3
）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
，则原方程
（4）原方程可写成令
，即
。
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
即
。
，则原方程成为，即
。令 ，即
，将
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，即，有。
。
代入上式，得通解
。
4． 设求
。
【答案】综合题中所给条件，可得
，其中f 有一阶连续偏导数，
二、计算题
5． 画出下列各方程所表示的曲面：
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示；（5）如图5所示
.
图1 图
2
图3 图4
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