2017年济南大学高等数学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得 2． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
3． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
2
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
即得 ，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
，代入
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得，即
有
于是所求积分曲线的方程为
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
表示不超过
的最
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
4． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
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，其中
分成四个区域：
即
故
二、计算题
5． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：
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，曲线C ：，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
，
故，
模
在约束条件C
：在约束条件C
：
令
得到因此
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
6． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
7． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
。
。
图
8． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
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；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
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