2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
【答案】f （x ）在续区间为
因为所以
2． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
内为单调增加函
数。但它的导函数在内却不是单调函数。
3． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.
【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点（4）
且与y 轴垂直的平面.
;
,
由于
的连续区间，并求极限
。
， 。
。
处无意义，所以这两个点为间断点，此外函数到处连续，连
（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面.
表示过z 轴的平面.
（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面.
图1 图2 图
3
图4 图5 图
6
图7 4． 设
【答案】令
，其中f 具有二阶导数，求
，则
。记
。
，
5． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
6． 求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求
（1） 90°F 的等价摄氏温度和-5°C 的等价华氏温度;
（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的? 如果存在，那么该温度值是多少?
【答案】设F=mC+b，其中m ，b 均为常数。 因为F=32°相当于C=0°，F=212°相当于C=100°，所以或
（1）
（2）设温度值t 符合题意，则有
7．
求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
得所围成的区域
.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
，而由
与圆柱体
的公共部分在xOy
即华氏-40°恰好也是摄氏-40°。
，故F=l.8C+32
。
图
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