2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
2． 甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少?
【答案】设从中午十二点整起，经过t 小时，甲船与乙船的距离为
故速率
当t=1时（即下午一点整）两船相离的速率为
3． 计算下列二重积分
（1）域；
（2）（3）（4）
【答案】（1）D 可表示为
，其中
，其中D 是圆周
，其中
，于是
所围成的闭区域；
。
，其中D 是顶点分别为
和
的梯形闭区
（2）由于
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
（4）利用对称性可知
，又
此
故
因
4．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
其中a , b 为常数，又
设
由
，得
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
5． 求球面
，即
含在圆柱面
。
内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示，上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
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