2017年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列数项级数的和:
【答案】（1）利用又其中故（2）因
故取x=1，有
于是
取x=1, 有
2． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
3． 求下列函数的n 阶导数：
【答案】（1）
（2）由
知
4． 按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性：
（1）（2）
【答案】（1）此级数为交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件。
有
故
取
当n>N时，对一切
即该级数在（2）有和函数
且取一列使得
5． 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为O 的另一侧与点O 的距离为
，
的点
的点
处，有一与成角
的力
成角
的力
作用着；在
处，有一与
作用着. 问
，，，
，
于是对
不论n 多大，总有
上一致收敛。
其部分和函数
有
因此，该级数在开区间（0, 1）内不一致内敛。
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
图
【答案】如图所示，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
即
6． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
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