2016年上海理工大学管理学院高等数学复试复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列二重积分:
，其中
;
，其中D 是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；
，其中
，其中D 是顶点分别为（0，0），
区域。
【答案】（1）
和
；
的三角形闭
（2）D 可用不等式表示为
（3）
。于是
（4）D 可用不等式表示为于是
2． 己知某车间的容积为30×30×6m 3，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
3
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）
在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
故每分钟至少输入新鲜空气
将
代入上式，解得
可得
于是有
将上述微分方程两端积分，得
3． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
4． 设某工厂生产x 件产品的成本为
（l ）当生产100件产品时的边际成本;
（2）生产第101件产品的成本，并与（l ）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.
，函数c （x ）称为成本函数，（元）
成本函数C （x ）的导数C ’（x ）在经济学中称为边际成本，试求:
【答案】（1）
（
（元/件）。
2
）
即生产第101件产品的成本为79.9元，与（l ）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C’（x ）的实际意义是近似表达产量达到x 单位时再增加一个单位产品所需的成本。
5． 求三平面x ＋3y ＋z=1，2x －y －z=0，﹣x ＋2y ＋2z=3的交点.
【答案】联立三平面方程
解得，x=1，y=﹣1，z=3.故所求交点为（1，﹣1, 3）.
6． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
小值。
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
二、证明题
7． 设u=f（x ，y ）的所有二阶偏导数连续，而
相关内容
相关标签