2017年广州大学物理与电子工程学院626高等数学(物理)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 一曲线通过点
, 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程。
,
有
【答案】设曲线方程为y=f（x ）, 则点（x , y ）处的切线斜率为f’（x ）, 由条件得因此f （x
）为的一个原函数,
故有3, 解得C=1, 即得所求曲线方程为
2． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
【答案】（1）又
，故
（2）又
故函数在x=0处可导。
3． 估计下列各积分的值:
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, 根据条件曲线过点
故在x=0处连续。
在x=0处不可导。
，故函数在x=0处连续。
【答案】（l ）在区间[1, 4]上, , 因此有
（2）在区间,
, 因此有
（3
）在区间即
上,
函数, 故有
是单调增加的,
因此,
（4）设（0）,
, 则
,
在[0, 2]上的最大值、最小值必为f
, 因此有
, f （2）中的最大值和最小值, 即最大值和最小值分别为f （2）=2和
而
4． 求下列欧拉方程的通解：
说明令记则
【答案】（1）令
记
则原方程化为
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或则
即
特征方程
为
即原方程的通解为
（2）原方程可改写成令
记
则方程化为
即
有特征
根故方程（1）有通
解
即 ，则
有特征根
方程（2）对应的齐次方程的特征为故方程（2）对应的齐次方程的通解为因
是特征（二重）根。设
代入方程（2）中可得A=1，即
即原方程的通解为
（3）令其方程特征为即
即原方程的通解为
（4）令
记
则方程可化为有根
记
则方程可化为
故方程（2）的通解为
故方程（3）的通解为
即
有根
故齐次方程的通
是（4）的特解。代入方
方程（4）对应的齐次方程的特征方程为解为
因
，比较系数得程（4）
于是方程（4）的通解为即原方程的通解为（5）令
记
则方程化为
不是特征方程的根，故可令
即
即
有根
故齐次方程的通解为
方程（5）对应的齐次方程的特征方程为
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