2017年杭州电子科技大学理学院881高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 【答案】D 【解析】 3． 设 又 则（ ）• 第 2 页，共 38 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则线性方程组（ ）• 为空间的两组基，且 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 4． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型. 由②有 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 5． 设 则3条直线 （其中 ）交于一点的充要条件是（ ） . 【答案】D 【解析】令其中 则方程组①可改写为 则3条直线交于一点 方程组①有惟一解 第 3 页，共 38 页 由秩A=2, 可知可由 6． 设 求可逆阵P ，使 为A 的若当标准形. 线性表出. 线性无关，由秩 可知 线性相关，即 可由 线性表出， 从而 线性相关，故选D. 二、分析计算题 【答案】先求A 的若当标准形，易证 于是 的初等因子组为 故设可逆阵 使 即有 也即 所以 于是有 即 即 即 解之得 第 4 页，共 38 页
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