2018年吉林大学通信工程学院902常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求微分方程的通解
：
【答案】令
.
方程化为
有
积分得
于是
还有解已在其中.
2．
解方程
【答案】
将方程改写为
这是以x 为未知函数和以y 为自变量的伯努利方程，
则有
令
得
从而原方程的解为
3．
证明以坐标原点为顶点的锥面方程可写为
其变元的可微函数.
【答案】
设以坐标原点为顶点的锥面方程为
方向为
满足
这是一个一阶线性非齐次偏微分方程，
它的特征方程为首次积分为
其中
4．
给定微分方程组
所以锥面方程为
为其变元的可微函数.
若将
切线方向为
则其上任一点
故锥面
其中为
）处的法线
上的点
解之得两个独立的
解出，得
.
（1
）给出微分方程组平衡状态的定义；（2
）给出平衡状态稳定的定义；（3
）给出平衡状态当
渐近稳定的定义.
【答案】（1
）微分方程组平衡状态的定义：
时
，波称为系统的平衡状态.
（2
）平衡状态稳定的定义：
如果对任意实数
程组
都存在实数
确定的解
使得当
满足
均有
时，方
的由初值条件
则称
如果（1
）方程组（2
）存在这样的
（3
）平衡状态渐近稳定的定义：
对于一切在
是李雅普诺夫意义下稳定的.
的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的；使当
时，
满足初值条件
的解
均有
则称平衡状态是渐进稳定的.
5．
作直线运动的质点
，
其加速度为v
和坐标
x.
【答案】
设（时刻的速度为
坐标为
则
时，，
求（时刻的速度
由已知条件
有
这是一个二阶线性常系数齐次方程
求解这个方程：
其对应的特征方程为
特征根为
则方程的通解为
由初值条件得到坐标函数为
时，得，，将其代入通解表达式中，
给上式关于（求导数得速度函数为
6． （1）写出齐次和非齐次线性微分方程组的一般形式；
（2
）叙述叠加原理；
（3）若
和
是非齐次线性微分方程组的解
，问
是否仍为该非齐
次线性微分方程组的解？
【答案】（1）对于线性微分方程组如果如果
也是
（
3
）若
和
次线性微分方程组的解. 7． 求解微分方程：
【答案】
两边同乘以积分因子
得
则则.
称为非齐次线性微分方程组；
称为齐次线性微分方程组.
的解，
则它们的线性组合
不一定是该非齐
的解，其中a , P
是任意常数；是非齐次线性微分方程组的解，那么
（2）叠加原理：如果u ⑴和v
⑴是线性方程组
8． 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为零；
（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长1; （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数