2018年陕西科技大学电气与信息工程学院818线性代数及常微分方程之常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求方程的通解.
【答案】
相应的齐次微分方程为
所以特征方程为
即
由于所以是三重根.
故①的通解为
不是特征根，
所以设非齐次方程的特解为
代入原方程，
得
故原方程的解为
2． 解拉格朗日（lagrange
）方程
数.
【答案】
由方程得
令
，并关于x
求导得
其中是连续可微函
当
时上式化为
代入
式得
若
由第一个因式得
则
代入
式得
由第二个因式得
由第三个因式得
代入
即
式得
代入
式得
所以是原方程的通解.
3． 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且惟一.
⑴
（2
）
【答案】（1）以原点为中心作闭矩形区域D
:
易验证在区域D 上满足解的存在惟一性定理的条件，
求得
则
因此初值问题
的解在上存在惟一，
从而在区间上方程
：
满足条件
的解存在惟一.
（2）以原点为中心作闭矩形区域D
:
易验证
. , •在D 上满足解的存在惟一性定理的条件，
并求得
则
由于
值
故所以当时，
当
取到最小值
从而可取到最大
当且仅当时，h
取到最大值为即证明
了初值问题的解在区间
上解存在惟一. 上存在惟一.
从而在区间
4．
求解初值问题
的第三次近似解.
【答案】
把该初值问题化成与之等价方程组初值问题
可求得这个方程的第三次近似解为
所以所求初值问题的第三次近似解为
：
5． 求解方程组
：
【答案】记
.
量，
得通解则A
的特征根为求出所对应的特征向