2018年陕西科技大学电气与信息工程学院818线性代数及常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 对下列方程求出常数特解，
并且画出方程经过的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换. 使非零驻定解对应于新的方程的零解.
（1
）
（2
）
【答案】（1
）方程可化为
即为驻定解.
由于方程为分离变量方程（或伯努利方程），
当时，
分离变量得
由
求得其常数特解为
方程的通解为
利用初始条件
解为得故得原方程满足初始条件的
由式（1）和方程右端的表达式，得出：
当时
，
时
，
递增；
又时
，
即
当
图1所示. 时，
有所以解（1）的图像如
图1 （1）的解曲线变化趋势图
从解的图像可以看出：
解
利用变换
，
不稳定；
解稳定. 可将原方程化为
所以原方程的驻定解
对应于方程
的零解y=0.
（2）由
因为
在且惟一，
当
在区域
在区域
在区域上
，
上
，
上
，
故时有：
任意解任意解任意解递增，
当递减，
当递増，
当时，
以时，
以时
，
远离
为渐近线.
为渐近线.
又
求得常数解为
在全平面上连续可微，
故对任意初始点方程的解存有铅直渐近线. 积分曲线的分布如图2所示.
图2 （2）的解曲线变化趋势图
从图2看出：
当
稳定
；
令
令稳定
；时
，
不稳定.
当时
，
当时，
驻定解不代入原方程，
得
代入原方程，
得
和
对应于新方程的零解所以原方程的驻定解
2． 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为零；
（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长1;
（3
）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数
（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分；
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；
（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比.
（提示：过点x ，y
）的切线的横截距和纵截距分别为
【答案】
⑴
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
和）