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一、证明题

1． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

2． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008.

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和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是

与

【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

2枚组成“一对”，共有以

个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

3． 设

为来自

的i.i.d 样本，其中

）.

两个参数空间分别为

利用微分法，

在

下

于是似然比统计量为

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种分法，

未知. 证明关于假设

的单侧t 检验是似然比检验（显著水平

【答案】记

样本的联合密度函数为

分别为的MLE.

而在

下的MLE

为

在时由于故只需考虑的情形，此时A 为的单

调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域

由t 检验的结论知，

4． 设

这就完成了证明.

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

这说明

5． 设

是来自

的样本,

证明完成.

为其次序统计量, 令

证明【答案】令

相互独立.

则

的联合密度函数为

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