2017年中央财经大学保险学院804精算基础知识之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 有20个灯泡, 设每个灯泡的寿命服从指数分布, 其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡, 当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的, 求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】
记
为第i 个灯泡的寿命（单位:天）
,
由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
2． 设二维随机变量
【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
的联合密度函数为
,
试求则
且
图
3． 用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示.
表1 安眠药试验数据
在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？
表
2
【答案】这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：
于是
根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：
表
3
在显著性水平
，差别. 此处检验的p 值为
4． 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从
【答案】记X 为考生的外语成绩，由题设条件知知
即
下，
查表得
拒绝域为
由于
故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的
的正态分布，已知96其中
未知，但由题设条件
分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.
因此查表知
5． 设
【答案】因为
由此解得从而得由此所求概率为
求的分布. 的可能取值区间为
所以当
0时，Y 的密度函数为
而当y>0时，Y 的分布函数为
对上式两边关于y 求导，得
即
这是伽玛分布
6．
设
是来自
的样本, 试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
的几何平均
为
或其对数
的充分统计量. 另
都是的充
外, T 的一一变换得到的统计量, 如分统计量.
7． 设
为取自泊松分布的随机样本.
的水平
的检验.
的图像.
（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选式
为
在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出
为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到
在
当
c=5
时时
，
所以，该检验问题的拒绝域形
，从而第一类错误概率
为
当
c=6
时
，
因此，该检验问题的拒绝域为
（2）势函数的计算公式为：
则
时的势计算如下表：
表
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