2017年中国农业大学水利与土木工程学院701数学(农)之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
2． 若 试证
：
【答案】由
得
所以得
即
所以
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即
由此得
即
3． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:
【答案】
4． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：
【答案】由于其中
代回原式即得证.
5． 设
是来自几何分布
的样本, 证明
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
【答案】由几何分布性质知,
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该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
统计量的真实含义.
6． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
上式移项即得结论.
7． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
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