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一、计算题

1． 算符

相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为

如

所以，它的本征值为

则

故

是电子自旋算符

经么正变换而得。试求出它的本征值和

相应的本征值在表象中的表示：

本征值为本征表示为

本征值为本征表示为

2． 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为

几率为1，能量的平均值为

角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

几率为1，其平均值为

3． 质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则哈密顿算符为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

4． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量

本征值为

因此定态方程

t 时刻，电子波函数满足：

则一维谐振子的势能为

其中，为自的解为：

的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。

因为故：

所以：

5． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求

的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：得到的对角化矩阵

6． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.

【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为

S 为自旋波函数. 可分离变量得