2017年广西师范大学量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设t=0
时刻氢原子处于
状态，其中
是氢原
子哈密顿算符的正交归一化本征波函数. 求：（1） t=0时刻，体系能量的平均值.
（2）t=0时刻，体系角动量平方的平均值.
（3）t=0时刻，体系角动量x 分量的平均值. （4）
时刻，
体系所处的状态
【答案】（1）由题意可知n=2，
3
故t=0时，体系能量平均值为
（2）由题意知1=1，2则
的平均值为
（3）由关系式
另外，由正交归一条件有
故t=0时平均值为
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（4）时刻体系所处的状态为
2． 设
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
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3． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数
，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
代表
简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态
代表自旋向上的概率
，
代表自旋向下的概率，归一化表示为
：
4． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
5． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。
（2）它们的简并度分别是多少？
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中运动。
表
（1
）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以