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一、计算题

1． 考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。 【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）基态：

空间部分波函数是对称的

：自旋部分波函数是反对称的：总波函数为：

（2）第一激发态：空间部分波函数：

自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数为：

基态不简并，第一激发态是四重简并的。

2． 二电子体系中，

总自旋【答案】（

写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 则自旋单态为：

）的归一化本征态记为

自旋三重态为：

3． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

其

中

是

符号

，

证明：若f 是

的共同本征

（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由

同理可得则

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是则

可见

是

和

的共同本征函数，本征值分别为

代入

的本征方程

的共同本征函数，可设

得

（c ）在球坐标中，

利用周期性边界条件由归一化条件可得

相应的本征方程为

可得

则的本征态为

4． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为

第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为

第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.

设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.

【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子

此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有

其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子

此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：体系第一激发态能量为：

5． 验证球面波

其简并度为1.

其简并度为3.

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

其中

代表仅与角度有关的微分算符）

其简并度为：3×3=9.

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