2018年湖南农业大学理学院602数学分析考研核心题库
● 摘要
一、综合题
1． 通过对积分区间作等分分割,
并取适当的点集算下列定积分:
（1）其分割为
,
取
为区间
的右端点,
得
（2）同（1）, 有
（3）由
.
则
在
上连续知, f （x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n 等分,
记其分割为
, 取为区间
的右端点,
得
（4）同（3）, 取
, 得
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, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计
（2
）（3）（4）
【答案】（1）因在[0, 1]上连续, 所以f （x ）在[0, 1]上可积. 对[0, 1]进行n 等分, 记
2． 判别下列广义积分的收敛性:
（1）
（2）
.
, 所以当p>1时, 取
由于此处当
,
故时, 因为
收敛.
, 所以当p —1<1时. 即当p<2时,
收敛. （p 是固定的）,
.
【答案】（1）此广义积分有瑕点x=0与当则有
时, 因为
, 有
以上两方面结合起来, 当1 当 时, 因为 , 有 , 所以只要取 , 则有 由于此处当 3． 【答案】利用定积分的定义求解 . 4． 求密度为的均匀球面 【答案】因 对于z 轴的转动惯量 , 则 第 3 页，共 36 页 , 故 时, 因为 收敛. , 所以 发散. 以上两方面结合起来, 则原广义积分发散. 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 5． 求下列函数的极值: 【答案】（1）由当由当当, 当值点, 极大值为 （2） 由 得稳定点x=1和x=－1. 于是, （3） , 故x=—1不是f （x ）的极值 , , ,, 故 x=1是 f （ x ）的极大值点 , 极大值为 f （ 1） =2, x=－1 是f （x ）的极小值点 , 极小值为 得时 , 时, , 故时, 无极值点 是f （x ）的极大 时 , , 而 得x=－l , 0, 1.把f （x ）的定义域分为四段 : , , 均不属于. 由 , 是f （x ）的极大值点. 得 . , 舍去 , 得 , 故 舍去 是f （x ）的极大值点. , 由 显然上述区间的分界点 —1 , 0, 1均是f （x ）的极小值点, 极小值为0; 由点; 得稳定点 故 , 由于 是极大值点, 极大值为 故x=1是f （x ）的极小值点, 极小值为f （1）=0. 第 4 页，共 36 页