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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

. 证明:

【答案】由已知条件可知, f （x ）是[a, b]上的严格凹函数. 设则必有

, 有

对上式两边在[a, b]上积分, 可得:

由于

从而, 对任意的

, 有

2． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】对闭区间[a, b]的任一开覆盖H , 构造数集S 如上, 显然S 有上界. 因为H 覆盖闭区间[a, b], 所以存在一个开区间区间覆盖, 从而

若

, 则,

使得

, 取

使得

, 取

, 使得

加进去可知

, 则[a, x]能被H 中有限个开

, 即S 非空. 由确界原理知, 存在

, 由H 覆盖[a, b]知, 存在,

且

, 这与

矛盾.

故

.

, 即[a, b]可被H 中的有限个开区间覆盖.

, 则f 在

且（或

上恒正.

, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与

用类似的方法可以证明

,

则

, 则

>0.由凹函数的性质, 对任意的

是f （x ）的最大值点,

能被H 中有限个开区间覆盖,

把

3． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设题设矛盾. 故

.

设

, 即f 在

异号, 由根的存在定理知, 在区间

）内至少存在一点, 使得时同理可证f （x ）恒负.

二、解答题

4． 设曲线

【答案】将

由方程组

代入到方程组

:确定, 求曲线在

得

处的切线方程与法线方程.

解得

进一步, 将方程组

中各方程两边分别求微分, 得

将

代入该方程组, 得

解得

.

所以

所以切线方程为:

5． 设

, 法线方程为:

求

【答案】

6． 判别下列函数的奇偶性:

（1）

（2）

（3）

（4

）

【答案】（1）显然,

的定义域为R. 对于任意

有

故是R 上的偶函数.

（2）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故

是R 上的奇函数.

（3）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的偶函数.

（4）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的奇函数.

7． 已知f （

x ）是

上的连续函数, 它在x=0

的某个邻域内满足关系式

且f （x ）在点x=l处可导, 求曲线y=f（x ）在点（1, f （1））处的切线方程. 【答案】令sinx=t, 注意到当

时,

且sinx 〜X , arcsint 〜t.

题设条件可改写为又因为f （x ）在点x=l处可导,

所以

将（1）式代入改写了的题设条件（2）式,

得到

从而, 所求切线方程为y=2（x-1）.

8． 设周期为

的可积函数

与满足以下关系式:

⑴

（2）

试问的傅里叶系数a n , b n 与

的傅里叶系数有什么关系？

【答案】

（1）