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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

则线性方程组（ ）•

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给所以A 的特征值为3，3，0；而

则A 与B （ ）.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C. 5． 设

则3条直线

（其中

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

）交于一点的充要条件是（ ）

.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

由秩A=2, 可知可由 6． 设令

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

二、分析计算题

V 关于矩阵加法及数乘构成P 上的线性空间，A , B，C , D为P 上固定的n 阶方阵，

证明：当C=D=0时，可逆【答案】r 是V 的

故A , B均可逆，令

由（1）知

若则

线性变换，直接验证可知

反证，

若

解，故存在

（1）证明：（2）证明：

【答案】（1）由维数公式得

则

使得

或

于是

（恒等变换）故可逆

.

不妨设

则齐次线性方程组这与可逆矛盾.

有非零

7． 设V 是n 维线性空间X 和Y 为V 的两个子空间，并且

当且仅当Y 是X 的子空间。

（3）举例说明：存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得

又因为

所以有

从而

（2）由（1

）知

所以显见（3）取又令则有且

8． 设V 是数域K 上一个n 维线性空间，的子空间；令

（1）证明：（2）证明:

是V 的子空间；

是V 的一个基，用表示由

等价于

的充要条件是

的充要条件是

命题得证。

则有

考虑到

且

V 为3维几何空间

生成

（3）设V 上的一个线性变换A 在基【答案】（1）

下的矩阵A 为置换矩阵（即A 的每一行与每一列

与都是的不变子空间.

所以V 是V 的非空子集

.

都只有一个元 素是1，其余元素全为0）. 证明：

即证（2）

是V 的子空间. 今

因为