2018年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A
为
矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
A. 若A 中有n 阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 B. 若A 中有n 阶子式不为零，则AX=b必有惟一解 C. 若A 中有m 阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 D. 若A 中有m 阶子式不为零，则AX=b必有惟一解 【答案】A 【解析】A
是A 项，
因为
B 项，
当
有
CD
两项因此，方程
组
矩阵，若A 中有n 阶子式不为零，而A
中又不存在
必只有零解.
所以
可能无解. 例如，
而
是行个未知数的齐次方程组，
所以
阶子式，
故必有
同理，若A 中有m 阶子式不为零，
则必有
时，
增广矩阵
的秩有可能是
方程组无解.
说明A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，
所以必有解. 但是否必有惟一解
和有非零解
，
2． 已知两个n
维向量组
秩
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】A 项，
仅
BD 两项，向量
组
得
C
项
线性表出，
故
可由
线性表出
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是否只有零解都是不确定的. 例
如
时，这两项才正确.
若向量组的
的极大线性无关组的是（ ）
有无穷多解，仅当与
则下列条件中不能判定
可由与
线性表出
是等价向量组
线性无关
及
可由线性表出，
并不能保证
由
于
线性无关.
故
等价，
知
线性无关，又能表示（II ）中每个向量.
表
明
又线性无关，那么
都可
由是极大无关组.
3． 已知A 是n 阶可逆矩阵，那么与A 有相同特征值的矩阵是（ ）。
A. B. C. D.
A
与
可得到
：
有相同的特征多项式，所以A 与
说明
【答案】A 【解析】
由于有相同的特征值.
由
与A 的特征值是不一样的（但A 的特征向量也是它们的特征向量）。
4． 设A 是nP 介矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，n 维列向量是矩阵A
的属于特征值的特征向量，那么在下列矩阵中：
肯定是其特征向量的矩阵共有（ ）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B
【解析】关于（1）,
由
于特征值
的特征向量.
知
必是矩阵
属于特征值
有
即
必是
属
关于（4）,
又
的特征向量.
关于（2）和（3）则不一定成立.
这是因为按定义，
矩阵
线性方程组
的特征向量是
与
由于
的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的.
与不一定共线，
因此
不一定还是
不一定同解，所以不一定是第二个方程组的解，
即
不一定是的特征向量.
5． 设A 、B 均为n 阶矩阵，
且
A.
B.
C.r （A ）=r（B ）
D. 【答案】B
则下列命题中不正确的是（ ）。
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【解析】
由于（B ）=n,
C 项正确，
且故
.
例如
6．
已知方程组
A.-1 B.10 C.1 D.2 【答案】C
不一定正确.
知ABAB=E, 又A 、B 均为n 阶矩阵，故A 、B 均可逆，则r （A ）=rD 项正确. 右乘A 得知A 项正确.
由于
不能推出AB=E,
但
有两个不同的解，则（ ）。
【解析】线性方程组
因为
Ax=b有两个不同的
解有无穷多
解
令
把
得
代入原方程组，有
因为
故知时方程组有无穷多解.
二、填空题
7．
已知若
【答案】【解析】由
.
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则
_____。
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