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一、选择题

1． 已知4

维列向量

=（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A 【解析】

设那么

与

均正交，

即内积

的非零解.

由于

线性无关，故系数矩阵的秩为3. 所以基础解系有4-3=1个解向量. 从

而

2． 设A 是nP 介矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，n 维列向量是矩阵A

的属于特征值的特征向量，那么在下列矩阵中：

肯定是其特征向量的矩阵共有（ ）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B

【解析】关于（1）,

由

于特征值

的特征向量.

知

必是矩阵

属于特征值

有

即

必是

属

亦即

是齐次方程组

线性无关，

若

非零且与

均正交，

则秩

关于（4）,

又

的特征向量.

关于（2）和（3）则不一定成立.

这是因为

按定义，

矩阵

线性方程组

即

不一定是

3．

已知矩阵

的特征向量是

与

由于

与不一定共线，

因此

不一定还是

的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的.

不一定同解，所以不一定是第二个方程组的解，

的特征向量.

那么下列矩阵中

与矩阵A 相似的矩阵个数为（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】二阶矩阵A 有两个不同的特征值1和3, 因此相同的特征值它就一定和相似，也就一定与A 相似.

（1）与（2）分别是上三角与下三角矩阵，特征值是1和3, 所以它们均与A 相似，又

可见（4）亦与A 相似. 而（3）与A 不相似.

4． 设A

是矩阵.

则

是齐次线性方程组

A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】

因的个数，

故方程组

组可能只有零解，也可能有非零解.

5． 某五元齐次线性方程组经高斯消元系数

矩阵化为

自由变量若取为

其中n

是

有非零解，但不必要，

因为当

的阶数，即方程组

时

的未知数此时方程

那么只要和矩阵A 有

有非零解的（ ）。

那么，正确的共有（ ）。

A.1个

B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B

【解析】

因为系数矩阵的秩

由于去掉

有

故应当有2个自由变量.

因为其秩与r （A ）不相等，故

两列之后，

所剩三阶矩阵为

不能是自由变量.

与

都不为0,

因此

不是自由变量. 同理

，

因为行列式

6． 设A 为4×3矩阵，

则

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

均可以是自由变量.

是非齐次性方程组的三个线性无关的解，为任意实数，

的通解为（ ）。

的一个解为

而

线性无关，从而

也线性无关，且

都为Ax=0的解，从而原方程的通解可表示为

二、填空题

7．

已知

【答案】1, 7, 7

【解析】解法一按伴随矩阵定义，由代数余子式

知伴随矩阵

是A 的伴随矩阵，那么

的特征值是_____.